Let U be a real vector space, B an inner product on U and T ∈ ∧U * a 3-form. The 3-form T defines two natural maps, [·,·] U : ∧ 2 U → U and σ : U → ∧ 2 U * ∼ = so(U, B) given by [x, y] U = 2B (T (x, y, ·)) and σ (x) = T (x, ·, ·). We show that [·,·] U is a Lie bracket if and only if g T ≡ Im(σ) is a Lie subalgebra of so(U, B). To cite this article: Résumé Algèbres de Lie engendrées par des 3-formes. Soit U un espace vectoriel réel, B un produit euclidien sur U et T ∈ ∧U * une 3-forme. La 3-forme T permet de définir deux applications, [·,·] U : ∧ 2 U → U et σ : U → ∧ 2 U * ∼ = so(U, B) telles que [x, y] U = 2B (T (x, y, ·)) et σ (x) = T (x, ·,·). On va démontrer que [·,·] U est un crochet de Lie si et seulement si g T ≡ Im(σ) est une sous-algèbre de Lie de so(U, B). Pour citer cet article : Version française abrégée Soit g une algèbre de Lie quadratique et (·,·) sa forme bilinéaire symétrique invariante. On définit la 3-forme de Cartan T ∈ ∧ 3 g * par T (x, y, z) = (x, [y, z]), x, y, z ∈ g (voir [2]). Cette 3-forme définit une classe dans cohomologie de g. De plus si g est simple elle engendre H 3 (g). On peut changer de point de vue. Soit U un espace vectoriel réel (de dimension finie) muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée σ : U → ∧ 2 U * ∼ = so(U, B), x → σ (x) ≡ T (x, ·,·). On note g T ≡ Im(σ) l'image de cette homomorphisme. Cette définition est inspirée de la Définition 3.1 de [1]. Le résultat principal de cette Note est le théorème suivant : Théorème 0.1. Supposons que B est définie positive. Alors, [·,·] U est un crochet de Lie si et seulement si g T est une sous algèbre de Lie de so(U, B). De plus : (i) σ est un homomorphisme d'algèbre de Lie, i.e. [σ (x), σ (y)] = σ ([x, y] U) ; (ii) Ker(σ) est un idéal abélien ; (iii) T est une 3-forme de Cartan pour B (i.e. T (x, y, z) = B([x, y] U , z)). La preuve de ce théorème dans le sens direct est un exercice facile (voir Remarque 1). Par contre, la preuve de la réciproque nécessite les étapes suivantes : (i) On démontre que si deux éléments (σ (x) et σ (y)) de g T commutent alors [x, y] U = 0 (voir Lemme 2.1). De ce lemme on déduit : (a) l'algèbre de Lie g T est semi-simple (voir Lemme 2.2) ; (b) sa décomposition en somme directe d'algèbres de Lie simples est donnée par(σ) est la décomposition orthogonale correspondante (voir Lemme 2.4). (ii) On montre que σ (x) · y ≡ [σ (x), y] = [x, y] U définit une structure g T -module sur U (voir Section 2). Puis on démontre que U est homomorphe au module adjoint de g T et que σ : U → g T est un homomorphisme de g T -modules (voir Section 3).